Question

（1）设椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为

1

2

，求椭圆的标准方程．
（2）设双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）由抛物线方程得到它的焦点坐标为F（2，0）也是椭圆的右焦点，由此得到m²-n²=4．根据椭圆离心率为

1

2

，得到m²-n²=

1

4

m²，联解得到m²=16，n²=12，即得该椭圆的标准方程；
（2）根据椭圆

x2

27

+

y2

36

=1经过点A的纵坐标为4，算出A的横坐标是±

15

，得A（±

15

，4）．算出椭圆的焦点坐标为（0，±3）也是双曲线的焦点，由此可设双曲线方程为

y2

k

-

x2

9-k

=1（0＜k＜9），代入点A坐标解出k=4，从而得到此双曲线的标准方程．

解答：解：（1）∵抛物线y²=8x的焦点坐标为F（2，0）
∴椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），可得m²-n²=4…①
∵椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，∴

m2-n2

m2

=

1

4

…②
联解①②，得m²=16，n²=12
∴该椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）∵椭圆

x2

27

+

y2

36

=1经过点A的纵坐标为4
∴设A（t，4），可得

t2

27

+

16

36

=1，解之得t=±

15

，A（±

15

，4）
∵椭圆

x2

27

+

y2

36

=1的焦点为（0，±3），双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦点，
∴双曲线的焦点为（0，±3），因此设双曲线方程为

y2

k

-

x2

9-k

=1（0＜k＜9）
将点A（±

15

，4）代入，得

16

k

-

15

9-k

=1，解之得k=4（舍负）
∴双曲线方程为

y2

4

-

x2

5

=1

点评：本题给出两个曲线有公共的焦点，在已知它们一个交点坐标的情况下求曲线的方程，着重考查了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．