Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；    
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）运用诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简三角函数式，再由周期公式，即可得到；
（Ⅱ）由f（x）的表达式，及0≤x≤

π

2

，有-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，再运用正弦函数的图象和性质，即可得到取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

），
即f（x）=sin²ωx+

3

sinωxcosωx，
则f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

，
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
（Ⅱ）f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
∴0≤in(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

．
∴函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围[0，

3

2

]．

点评：本题考查二倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式，周期公式，考查三角函数的值域，属于中档题．