Question

【题目】已知函数f(x)=x2+(x2-3x)lnx

（1）求函数f(x)在x=e处的切线方程

（2）对任意的x)都存在正实数a，使得方程f(x)=a至少有2个实根, 求a的最小值

Answer 1

【答案】（1）(5e-6)x-y-3e2+3e=0（2）1

【解析】分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）首先可得是方程的根，只需方程另外至少一个根即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象，可得函数的极值与最值，从而可得的最大值.

详解：(1)f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx k=f/(e)=5e-6切点为：(e,2-3e)

切线方程为： y-2+3e=(5e-6)(x-e) (5e-6)x-y-3+3e=0

（2）令f/(x)=0 即3x-3+(2x-3)lnx=0 显然x=1是方程的根

而f//(x)=2lnx 易知f//(x)在（0，）上递增，容易验证f//()=3-3e f//(1), 存在x1使得f//(x1)=0

所以当x1)时，f//(x)， f/(x)递减，

当x1，时，f//(x)， f/(x)递增

且f/(x1)/(1)=0，又f()=，故存在x2x1)使得f/(x2) =0，列出下表：

x	(0,x2)	x2	(x2,1)	1	(1,)
f/(x)	+	0	-	0	+
f(x)	增	极大值	减	极小值	增

所以f(x)在x=x2处取极大值；在处取得极小值.因f(1)=1；x0时f(x)

作出f(x)的示意图可知： a的最小值为1