Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．

(1)求证：点M为边BC的中点；

(2)求点C到平面AMC₁的距离；

(3)求二面角M-AC₁-C的大小．

Answer 1

(1)证明：∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AM⊥C₁M，且AM=C₁M，

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC．

∴C₁M在底面内的射影为CM，AM⊥CM．

∵底面ABC为边长为a的正三角形，

∴点M为BC边的中点．

(2)解：过点C作CH⊥MC₁于H．

由(1)知AM⊥C₁M且AM⊥CM，

∴AM⊥平面C₁CM

∵CH在平面C₁CM内，∴CH⊥AM，

∴CH⊥平面C₁AM．

由(1)知，AM=C₁M=a，

CM=a且CC₁⊥BC．

∴CC₁=a

∴

∴点C到平面AMC₁的距离为

(3)解：过点C作CI⊥AC₁于I，连HI，

∵CH⊥平面C₁AM，∴HI为CI在平面C₁AM内的射影，∴HI⊥AC₁，

∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角．

在直角三角形ACC₁中，

，

∴sin∠CIH=，

∴∠CIH=45°∴二面角M-AC₁-C的大小为45°．