题目内容

12．若函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[1，+∞），则$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$的最小值为（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 由于二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[1，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出c-1=$\frac{4}{a}$，代入利用均值不等式进而求解．

解答 解：因为二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[1，+∞），
所以$\frac{4ac-16}{4a}$=1⇒c-1=$\frac{4}{a}$，a＞0，
所以$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$=$\frac{a}{4}+\frac{9}{a}$≥2$\sqrt{\frac{9}{4}}$=3（当且仅当a=6时取等号）
所以$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$的最小值为3，
故选C．

点评 此题考查了二次函数的值域，变量的替换及利用均值不等式求最值．

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