Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）当a=1时，求f（x）的极值；（II）若函数f（x）在(0，

1

2

)上恒大于零，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时代入函数求出导数，计算极值，
（2）展开函数，求导，根据导数的值判断函数的单调性，利用恒成立问题求出最值

解答：解：
（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-（2/x）…2分
由f′（x）＞0得x＞2；由f′（x）＜0得0＜x＜2…3分
∴f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞]…4分
∴f（x）有极小值f（2）2-2ln2，无极大值…5分
（2）要对任意的x∈（0，1/2），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，1/2），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，…6分
令l（x）=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
则l′（x）=[-（2/x）（x-1）-2lnx]/（x-1）2=（2lnx+2/x-2）/（x-1）…7分
令M（x）=2lnx+2/x-2），x∈（1，

1

2

）
则M′（x）=-2/x2+

2

x

=-2（1-x）/x2＜0…8分
故M（x）在（0，

1

2

）为减函数，所以M（x）＞M（

1

2

）=2-2ln2＞0…9分
所以l′（x）＞0，所以l（x）在（0，

1

2

）上为增函数…10分
所以l（x）＞l（

1

2

）=2-4ln2
所以要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞）
综上：若函数f（x）在(0，

1

2

)上恒大于零，实数a的最小值为2-4ln2…12分

点评：该题考查利用导数求极值问题，为基础题，可根据恒成立问题求出a的范围，根据给出的x的值求a的最小值，也可以先求导再根据情况讨论．