Question

从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.
（1）写出数列的一个是等比数列的子列；
（2）设是无穷等比数列，首项，公比为.求证：当时，数列不存在
是无穷等差数列的子列.

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑推理能力.第一问，在数列的所有项中任意抽取几项，令其构成等比数列即可，但是至少抽取3项；第二问，分2种情况进行讨论：和，利用数列的单调性，先假设存在，在推导过程中找出矛盾即可.
试题解析：（1）（若只写出2,8,32三项也给满分）.           4分
（2）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为.因为
所以.
（1）当时，∈（0，1]，且数列是递减数列，
所以也为递减数列且∈（0，1]，,
令，得，
即存在使得，这与∈（0，1]矛盾.
（2）当时，≥1，数列是递增数列，
所以也为递增数列且≥1，.
因为d为正的常数，且，
所以存在正整数m使得.
令，则，
因为=，
所以，即，但这与矛盾，说明假设不成立.
综上，所以数列不存在是无穷等差数列的子列.            13分