Question

已知正项数列满足：，数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

Answer 1

（1），；（2）详见解析.

试题分析：（1）解以为变量的一元二次方程得出数列的通项公式，利用与之间的关系利用作差法求出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，方法一是将的前项和中的项一一配对并进行裂项展开，然后利用裂项法求，进而证明相应不等式；方法二是将数列中的每一项进行拆开，然后逐项求和，进而证明相应不等式.
试题解析：（1）由，得，
由于是正项数列，所以，
由可得当时，，两式相减得，
数列是首项为，公比的等比数列，；
（2），
方法一：
，

；
方法二：，

.