Question

15．$\int_2^3{（{\sqrt{（{2-x}）（{x-4}）}-{2^x}}）}dx$=$\frac{π}{4}-\frac{4}{ln2}$．

Answer 1

分析 利用定积分的定义，结合表达式的几何意义化简求解即可．

解答 解：$\int_2^3{（{\sqrt{（{2-x}）（{x-4}）}-{2^x}}）}dx$=${∫}_{2}^{3}\sqrt{-{x}^{2}+6x-8}dx$-${∫}_{2}^{3}{2}^{x}dx$．
=${∫}_{2}^{3}\sqrt{-（x-3）^{2}+1}dx$-${∫}_{2}^{3}{2}^{x}dx$．
${∫}_{2}^{3}\sqrt{-（x-3）^{2}+1}dx$的几何意义是以（3，0）为圆心，以1为半径的圆的$\frac{1}{4}$的面积，${∫}_{2}^{3}\sqrt{-（x-3）^{2}+1}dx$=$\frac{π}{4}$．
${∫}_{2}^{3}{2}^{x}dx$=$\frac{{2}^{x}}{ln2}$${|}_{2}^{3}$=$\frac{4}{ln2}$．
$\int_2^3{（{\sqrt{（{2-x}）（{x-4}）}-{2^x}}）}dx$=$\frac{π}{4}-\frac{4}{ln2}$
给答案为：$\frac{π}{4}-\frac{4}{ln2}$．

点评 本题考查定积分的求法，表达式的几何意义，考查转化思想以及计算能力．