市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析.发现有如下规律:该商品的价格每上涨x%.销售数量就减少kx%．目前.该商品定价为a元.统计其销售数量为b个．(1)当$k=\frac{1}{2}$时.该商品的价格上涨多少.就能使销售总金额y达到最大.最大值为多少?的条件下.求当x∈(0.m]时使$y∈({ab.\frac{9}{8}ab}]$的m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为常数）．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．
（1）当$k=\frac{1}{2}$时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总金额y达到最大，最大值为多少？
（2）在（1）的条件下，求当x∈（0，m]时使$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$的m的范围；
（3）求k的取值范围，使得在适当的涨价过程中，销售总金额y能不断增加．

分析（1）依题意，价格上涨x%后，销售总金额为：y=a（1+x%）b（1-kx%），当$k=\frac{1}{2}$时$y=\frac{ab}{10000}（-\frac{1}{2}{x^2}+50x+10000）$，即可得出结论；
（2）利用函数图象，即可求当x∈（0，m]时使$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$的m的范围；
（3）二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{50（1-k）}{k}$，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y也增大，所以$\frac{50（1-k）}{k}＞0$，即可求k的取值范围．

解答解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为：y=a（1+x%）b（1-kx%）
=$\frac{ab}{10000}[-k{x^2}+100（1-k）x+10000]$（3分）
（1）当$k=\frac{1}{2}$时$y=\frac{ab}{10000}（-\frac{1}{2}{x^2}+50x+10000）$（4分）
∴x=50，即商品价格上涨50%时，y最大为$\frac{9}{8}ab$．
答：商品价格上涨50%时，销售的总金额达到最大，最大值为$\frac{9}{8}ab$．（7分）
（2）在（1）的条件下，当$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$时，由图象可知，m∈[50，100）（11分）
（3）因为$y=\frac{ab}{10000}[-k{x^2}+100（1-k）x+10000]$，
此二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{50（1-k）}{k}$，
在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y也增大，所以$\frac{50（1-k）}{k}＞0$，解之得0＜k＜1．
答：当0＜k＜1时，可在适当涨价过程中，销售总金额不断增加．（16分）

点评本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．