Question

（12分）直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值。若不存在，说明理由。

Answer 1

（1），（2）

【解析】

试题分析：（1）联立直线与双曲线方程得到关于x的方程，由题意知方程两个不等正实根，利用判别式与韦达定理即可（2）有关直线与圆锥曲线位置关系的探索性问题，一般是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结果，则说明假设不存在．

试题解析：（1）联立消y 得方程有两不等的正根 解得

（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．

则由FA⊥FB得：（x1﹣c）（x2﹣c）+y1y2=0．即（x1﹣c）（x2﹣c）+（kx1+1）（kx2+1）=0．

整理得③

把②式及代入③式化简得．

解得

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点

考点：直线与双曲线的综合应用