Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数图象在点处的切线方程为，求的值；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）若，，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，先对进行求导，再利用，可求出的值；（Ⅱ）求出的表达式，再分别对两种进行讨论，可得到函数的极值；（Ⅲ）函数恒成立问题，两种思路，一种是，另一种是用参变分离的方法求解.

试题解析：（Ⅰ），∴.

函数图象在点处的切线方程为∴.

（Ⅱ）由题意可知，函数的定义域为，

.

当时，，，为增函数，，为减函数，所以，.

当时，，，为减函数，，，为增函数，所以，.

（Ⅲ）“对任意的，恒成立”等价于“当时，对任意的，成立”，当时，由（Ⅱ）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以的最小值为，，当时，，时，，显然不满足，

当时，令得，，，

（ⅰ）当，即时，在上，所以在单调递增，所以，只需，得，所以.

（ⅱ）当，即时，在，，单调递增，在，，单调递减，所以，

只需，得，所以.

（ⅲ）当，即时，显然在上，单调递增，，不成立，

综上所述，的取值范围是.

（用分离参数做答酌情给分）