Question

【题目】如图，由三棱柱和四棱锥构成的几何体中， 平面， ， ， ，平面平面．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若为棱的中点，求证： 平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）不存在这样的点．

【解析】试题分析: （Ⅰ）在直三棱柱中，由平面，推得，

由平面平面，推得平面，又平面，得证．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，写出各点坐标,求出平面的法向量为,因为, 所以平面．（Ⅲ）设， ，根据线面角公式列出方程,解得，可得结论．

试题解析:（Ⅰ）证明：在直三棱柱中， 平面，

故，

由平面平面，且平面 平面，

所以平面，

又平面，

所以．

（Ⅱ）证明：在直三棱柱中， 平面，

所以， ，

又，

所以，如图建立空间直角坐标系，

依据已知条件可得， ， ， ， ， ，

所以， ，

设平面的法向量为，

由即

令，则， ，于是，

因为为中点，所以，所以，

由，可得，

所以与平面所成角为0，

即平面．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面的法向量为．

设， ，

则， ．

若直线与平面成角为，则

，

解得，

故不存在这样的点．