题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为e= $数学公式$ ，且过点（ $数学公式$ ）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

解：（Ⅰ）∵e= $\text{[math]}$ ，∴c= $\text{[math]}$ a，∴b²=a²-c²= $\text{[math]}$ ，故所求椭圆为： $\text{[math]}$ ．
又椭圆过点（ $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ ，∴a²=4，b²=1，
∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为（x₀，y₀）
将直线y=kx+m与 $\text{[math]}$ 联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵△=16（4k²+1-m² ）＞0，即 4k²+1-m²＞0 ①，
又x₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又点[-1，0]不在椭圆OE上．
依题意有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，整理得3km=4k²+1 ②．由①②可得k²＞ $\text{[math]}$ ，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞ $\text{[math]}$ ，
设O到直线l的距离为d，
则S_△OPQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k= $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ，
∴直线方程为 y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据e= $\text{[math]}$ ，可得b²= $\text{[math]}$ ，故所求椭圆为 $\text{[math]}$ ，把点（ $\text{[math]}$ ）代入椭圆的方程可得a²=4，从而得到椭圆的方程．
（Ⅱ）将直线y=kx+m与 $\text{[math]}$ 联立，得到 4k²+1-m²＞0 ①，由中点公式及 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得到整理得3km=4k²+1 ②，由①②可得k²＞ $\text{[math]}$ ，又 S_△OPQ为 $\text{[math]}$ ，故当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k= $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ，从而得到l的方程．
点评：本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，求出k值，是解题的难点和关键．