Question

【题目】椭圆: 的离心率为,抛物线:截轴所得的线段长等于.与轴的交点为，过点作直线与相交于点直线分别与相交于.

(1)求证:；

(2)设,的面积分别为,若 ,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：

(1)由题意可求得椭圆的方程为.直线的方程为(存在),,.联立直线方程与抛物线方程可得,，韦达定理计算可得,则.

(2)由(1)可知和均为直角三角形,设直线方程为,与抛物线方程联立可得,同理可得,则.同理求得,则，故的取值范围是[,+∞).

试题解析：

(1)由题设得,∴,又,∴ ,解得.

因此椭圆的方程为.由抛物线的方程为,得.

设直线的方程为(存在),,.

于是由消去得,∴,①

∴

∴将①代入上式得,

故.

(2)由(1)知,,∴和均为直角三角形,设直线方程为,直线方程为,且,由解得或,∴,同理可得,

∴.

由解得或,∴,

同理可得,

∴,

∴

又∵＞0,∴≥.

故的取值范围是[,+∞).