Question

【题目】如图所示，在几何体中，四边形是菱形，平面，，且，.

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角是直二面角，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）通过证明，，证明平面，再得到平面⊥平面.

（2）以为轴和轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角是直二面角求出，得到与的坐标，利用向量夹角公式，得到答案.

（1）证明：四边形是菱形，

平面，

而

平面，平面，

平面⊥平面

（2）设与的交点为，由(1)得，

如图：分别以为轴和轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系

.设，

则，

，，．

设是平面的法向量，则，

即，

令，平面AEF的一个法向量为

同理设，是平面的法向量，则

得平面的一个法向量为，

二面角是直二面角，

，.

，

设异面直线与所成角为

故所求异面直线与所成角为的余弦值为.