Question

【题目】已知函数.

（1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；

（2）当时，求证：且，有.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据定义域确定只能在3，4区域，再根据确定只能在4，转化为不等式恒成立，分离变量得．利用导数求函数单调性，根据单调性确定函数最值，即得的取值范围；（2）作差函数，再利用二次求导确定为单调递减函数，最后根据，得，即得结论.

试题解析：（1）函数的定义域为，且当时，．

又直线恰好通过原点，

∴函数的图象应位于区域Ⅳ内，

于是可得，

即．

∵，∴．

令，则．

∴时，，单调递增；

时，，单调递减．

∴

∴的取值范围是．

（2）∵，

设,

则，

，

∴，

∴时 为单调递减函数，

不妨设，令（），

可得，

，∵且单调递减函数，

∴，∴，为单调递减函数，

∴，

即．