题目内容

已知平面向量
a
，
b
满足|
a
|=1，
b
与
a
-
b
的夹角是120°，则
b
2-(
a
•
b
)2的最大值是
 
．
考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由题意可得
b
2-(
a
•
b
)2=
b
2•sin2θ．设
OA
=
a
，
OB
=
b
，则
BA
=
.
a
-
b
，由题意可得∠OBA=60°，由正弦定理求得
b
2=
4
3
sin2（120°-θ），把要求的式子化为
4
3
[
1
2
sin(2θ-
π
6
)+
1
4
]2，再利用正弦函数的值域，求得它的最大值．
解答： 解：设向量
a
与
b
的夹角为θ，则由题意可得
a
•
b
=1×|
b
|×cosθ=|
b
|×cosθ．
则
b
2-(
a
•
b
)2=
b
2-
b
2cos2θ=
b
2（1-cos2θ）=
b
2•sin2θ．
设
OA
=
a
，
OB
=
b
，则
BA
=
.
a
-
b
，由题意可得∠OBA=60°，
∠AOB=θ，如图所示：
△OAB中，由正弦定理可得
1
sin60°
=
|
b
|
sin(120°-θ)
，
∴
b
2=
4
3
sin2（120°-θ），
∴要求的式子即
b
2•sin2θ=
4
3
sin2（120°-θ）•sin2θ
=
4
3
[
3
2
sinθcosθ+
1
2
 sinθsinθ]2=
4
3
 [
3
4
sin2θ-
1
4
cos2θ+
1
4
]2 
=
4
3
[
1
2
sin(2θ-
π
6
)+
1
4
]2≤
4
3
×(
1
2
+
1
4
)2=
3
4
，
故答案为：
3
4
．
点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，正弦函数的值域，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=2lnx-
1
x
，对于任意的x1，x2∈（0，+∞），有|f（x1）-f（x2）|≥m|
1
x1
-
1
x2
|，则实数m的取值范围为
 
．
某地区气象台统计，刮风的概率为
2
15
，既刮风又下雨的概率为
1
10
，设A为刮风，B为下雨，则P（B|A）=
 
．
已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
与
b
的夹角为30°，则|
a
+
b
||
a
-
b
|=
 
．
设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（
1
2
）x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为
 
．
按要求计算下列问题：
（1）如图（1），输出的结果是
 
；
（2）如图（2），程序运行后输出的结果为：
 
．
设f（x）=
∫
x
a
12t2dt且
∫
1
0
f（x）dx=1，则a=
 
．
设函数y=sin（
π
2
x+
π
3
），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则|x1-x2|的最小值是
 
．
若x是一个三角形的最小内角，则函数y=2
2
sin（x-
π
3
）的值域是（　　）
A、（-2
3
，2
3
）
B、（-
6
，0]
C、[
3
-1，3）
D、（-2
3
，0）

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