Question

【题目】已知数列的各项均为整数，其前n项和为．规定：若数列满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列为“r关联数列”．

（1）若数列为“6关联数列”，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；

（3）若数列为“6关联数列”，当时,在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求，并探究在数列中是否存在三项，，其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2），证明见解析

（3），不存在，理由见解析

【解析】

（1）根据题意得到，，且.解得即可求出的通项公式.

（2）由（1）得，利用换元法证明数列的最小项为，即可证明对任意，.

（3）由（1）可知，当时，，由此可得出.假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，推导出故，这与题设矛盾，所以在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列.

（1）∵为“6关联数列”，

∴前6项为等差数列，从第5项起为等比数列.

∴，，且.

即，解得.

∴.

（2）由（1）得.

：，

：，

：，

可见数列的最小项为.

，

由列举法知：当时，；

当时，（），

设，则，．

（3）由（1）可知，当时，，

因为：，.

故：.

假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，

则：，即：，

即（*）

因为，，成等差数列，所以，

（*）式可以化简为，

即：，故，这与题设矛盾.

所以在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列.