[题目]对于由有限个自然数组成的集合A.定义集合S(A)={a+b|a∈A.b∈A}.记集合S．定义变换T.变换T将集合A变换为集合T．.T(A),(2)若集合A有n个元素.证明:“d=2n-1 的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列 ,(3)若A{1.2.3.4.5.6.7.8}且{1.2.3.-.25.26}T.求元素个数最少的集� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．

（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；

（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；

（3）若A{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}T（T（A）），求元素个数最少的集合A．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据定义直接进行计算即可

（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明

（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论．

（1）若集合A={0，1，2}，则S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．

（2）令．不妨设．

充分性：设是公差为的等差数列．

则

且．所以共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1．

必要性：若d（S（A））=2n-1．

因为．

所以S（A）中有2n-1个不同的元素：

任意（1≤i，j≤n）的值都与上述某一项相等．

又，且．

所以，所以是等差数列，且公差不为0．

（3）首先证明：1∈A．假设1A，A中的元素均大于1，从而1S（A），

因此1T（A），1S（T（A）），故1T（T（A）），与{1，2，3，…，25，26}T（T（A））矛盾，因此1∈A．

设A的元素个数为n，S（A）的元素个数至多为C+n，从而T（A）的元素个数至多为C+n+n=．

若n=2，则T（A）元素个数至多为5，从而T（T（A））的元素个数至多为=20，

而T（T（A））中元素至少为26，因此n≥3．

假设A有三个元素，设，且，

则1，2，，，

从而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小数为，则5T（T（A）），与题意矛盾，故≤5．

集合T（T（A））．中最大数为，由于26∈T（T（A）），故≥26，从而≥7，

（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此时1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），则有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22与28之间可能的数为14+2，21+．

此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．

（ii）若A={1，，8}，且≤5．此时1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），则有16+9=25∈T（T（A）），

若26∈T（T（A）），则16+2=26或16+（8+）=26，

解得=5或=2．

当A={1，2，8}时，15，21，23T（T（A））．不满足题意．

当A={1，2，8}时，

T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．

故元素个数最少的集合A为{1，5，8}

练习册系列答案

相关题目

【题目】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为　　

A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025

【题目】已知函数，

（1）已知为自然对数的底数，求函数在处的切线方程；

（2）当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．

【题目】在如图所示的几何体中，平面平面，△为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【题目】某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照,,… ,分成组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )

①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为;

②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为;

③若该商场有名职工,考试成绩在分以下的被解雇,则解雇的职工有人;

④若该商场有名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过分(包括分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有人.

A.①③B.②③C.②④D.①④

【题目】某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表. 规定：数据≥，体质健康为合格.

等级	数据范围	男生人数	男生平均分	女生人数	女生平均分
优秀
良好
及格
不及格	以下
总计	--

(I)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；

(II)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；

（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）

【题目】如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．