题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在坐标原点，且经过点
，它的一个焦点与抛物线E：
的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆于C、D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l经过点
，设点
，且
的面积为
，求k的值；
（3）若直线l过点
，设直线
，
的斜率分别为
，
，且
，
，
成等差数列，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）由题知得到
，解方程组即可.
（2）设直线
：
，由
得：
.利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到
，解方程即可.
（3）设直线：，带入椭圆方程得到.根据韦达定理和等差中项的性质得到
，解方程即可求出直线方程.
（1）设椭圆的方程为
，
由题设得，∴
.
∴椭圆
的方程是.
（2）设直线：，设
，
，
由得：.
，
.
与抛物线
有两个交点，
，
，
则
.
到的距离
，
又
，所以
.
，故.
（3）设直线：
，设
，
，
由
消去
得：
.
因为
在椭圆内部，所以与椭圆恒有两个交点,
所以
.
由
，
，
成等差数列得
.
.
所以解得：
.
所以直线的方程为.
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