题目内容

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t (t＞0,n=2,3,4…).

(1)求证：数列{an}是等比数列；

(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；

(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.

解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.    ∴a2=.

又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，                                             ①

3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t                                                 ②

①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.

∴,n=2,3,4…,    所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列；

(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn－1.

可见{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列.   于是bn=1+(n－1)=;

(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,

∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1

=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)

=－ (b2+b4+…+b2n)=－·n(+)=－ (2n2+3n)

练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的首项a1=
3
2
，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ n∈N*）．
（Ⅰ）求a2及an；
（Ⅱ）求满足
18
17
＜
S2n
Sn
＜
8
7
的所有n的值．
设数列{an}的首项a1=a≠
1
4
，且an+1=
1
2
an		(n为偶数)
an+
1
4
(n为奇数)
，n∈N*，记bn=a2n-1-
1
4
，cn=
sinn
|sinn|
bn，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当a＞
1
4
时，数列{cn}前n项和为Sn，求Sn最值．
设数列{an}的首项a1=
1
2
，且an+1=
2an
1+an
（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据上述结果猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
（2012•昌平区二模）设数列{an}的首项a1=-
1
2
，前n项和为Sn，且对任意n，m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
，数列{an}中的部分项{abk}(k∈N*）成等比数列，且b1=2，b2=4．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}与的通项公式；
（Ⅱ）令f(n)=
1
bn+1
，并用x代替n得函数f（x），设f（x）的定义域为R，记cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)，求
n
i=1
1
cici+1
．
设数列{an}的首项a1=
5
4
，且an+1=
1
2
an，n为偶数
an+
1
4
，n为奇数
，记bn=a2n-1-
1
4
，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若设数列{cn}的前n项和为Sn，cn=nbn，求Sn．

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