Question

19．已知函数f（x）=sin2x-2$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+2，设t=sinx+cosx，且x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）
（1）试将函数f（x）表示成关于t的函数g（t），并写出t的范围；
（2）若g（t）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若方程f（x）=0有四个不同的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换可得t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），且x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），t∈（0，$\sqrt{2}$]，
可求g（t）=t²-2at+1，t∈（0，$\sqrt{2}$]．
（2）由题意可得a≤$\frac{{t}^{2}+1}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{1}{2t}$，在t∈（0，$\sqrt{2}$]上恒成立，令H（t）=$\frac{t}{2}+\frac{1}{2t}$，可求H′（t）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{t}^{2}}$，由$\left\{\begin{array}{l}{H′（t）≥0}\\{0＜t≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{H′（t）＜0}\\{0＜t≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，即可利用函数的单调性解得a的取值范围．
（3）方程f（x）=0有四个不同的解等价于g（t）在（0，$\sqrt{2}$）上有两个不相等的实根，问题转化为g（t）=t²-2at+1在（0，$\sqrt{2}$]上有两个不相等的实根的条件为：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{△=4{a}^{2}-4＞0}{-\frac{-2a}{2}=a∈（0，\sqrt{2}）}}\\{\stackrel{g（0）＞0}{g（\sqrt{2}）＞0}}\end{array}\right.$，从而解得a的范围．

解答 解：（1）∵t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），且x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴x+$\frac{π}{4}$∈（0，π），
∴t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（0，$\sqrt{2}$]，
∴sin2x=2sinxcosx=（sinx+cosx）²-（sin²x+cos²x）=t²-1，
∴g（t）=sin2x-2$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+2
=t²-1-2at+2
=t²-2at+1，t∈（0，$\sqrt{2}$]．
（2）∵g（t）=t²-2at+1≥0恒成立，t∈（0，$\sqrt{2}$]，
∴a≤$\frac{{t}^{2}+1}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{1}{2t}$，在t∈（0，$\sqrt{2}$]上恒成立．
令H（t）=$\frac{t}{2}+\frac{1}{2t}$，则H′（t）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{t}^{2}}$，由$\left\{\begin{array}{l}{H′（t）≥0}\\{0＜t≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{H′（t）＜0}\\{0＜t≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
可得H（t）在（0，1]单调递减，在[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
所以H（t）_min=H（1）=1，
所以：a≤H（t）_min=H（1）=1时，在t∈（0，$\sqrt{2}$]上g（t）≥0恒成立．
（3）方程f（x）=0有四个不同的解等价于g（t）在（0，$\sqrt{2}$）上有两个不相等的实根，
问题转化为g（t）=t²-2at+1在（0，$\sqrt{2}$]上有两个不相等的实根的条件为：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{△=4{a}^{2}-4＞0}{-\frac{-2a}{2}=a∈（0，\sqrt{2}）}}\\{\stackrel{g（0）＞0}{g（\sqrt{2}）＞0}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{a＞1或a＜-1}{0＜a＜\sqrt{2}}}\\{\stackrel{1＞0}{a＜\frac{3\sqrt{2}}{4}}}\end{array}\right.$，可得：1＜a＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故若方程f（x）=0有四个不同的实数根，a∈（1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了导数的概念及应用，根的存在性及根的个数判断，综合性强，属于中档题．