Question

已知函数，a为正常数，
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈(0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
，
令，
∴函数f（x）的单调增区间为。
（2）∵，
∴，
∴，
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在(0，2]上是减函数。
当，
令对x∈[1，2]恒成立，
设，
∵，
∴，
∴m（x）在[1，2]上是增函数，
则当x=2时，m（x）有最大值为，
∴。
 当，
令，
设，
∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴，
∴；
综上所述，。