Question

已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1），（2分）
∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，
∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．（6分）
（2）∵，
∴，
∴，（8分）
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．
当1≤x≤2时，，，
令h′（x）≤0，得：对x∈[1，2]恒成立，
设，则，
∵1≤x≤2，∴，
∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，
∴（12分）
当0＜x＜1时，，，
令h′（x）≤0，得：，
设，则，
∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0，（15分）综上所述，（16分）
分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．