Question

已知

a

=（sinx，1），

b

=（sinx，cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）若f（x）≥1，求x的范围；
（2）求f（x）的最大值以及此时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积公式，化简f（x）≥1得cos²x-cosx≤0，从而得到0≤cosx≤1．再由余弦函数的图象与性质解此不等式，即可求出x的范围；
（2）由（1）得f（x）=sin²x+cosx，利用同角三角函数的关系化简、配方得f（x）═-（cosx-

1

2

）²+

5

4

，由此可得cosx=

1

2

时，f（x）的最大值为

5

4

，根据余弦函数的图象与性质，可得相应x的值．

解答：解：（1）∵

a

=（sinx，1），

b

=（sinx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=sin²x+cosx，
若f（x）≥1，则sin²x+cosx≥1，即1-sin²x-cosx≤0，
化简得cos²x-cosx≤0，解得0≤cosx≤1．
∴-

π

2

+2kπ≤x≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得x的范围是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z）；
（2）由（1）得f（x）=sin²x+cosx=-cos²x+cosx+1=-（cosx-

1

2

）²+

5

4

，
∵-（cosx-

1

2

）²≤0，
∴f（x）=-（cosx-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
当且仅当cosx=

1

2

时，即x=±

π

3

+2kπ（k∈Z）时，等号成立
∴f（x）的最大值值为

5

4

，相应的x值为x=±

π

3

+2kπ（k∈Z）．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求函数f（x）=

a

•

b

的最值及相应的x值．着重考查了向量的数量积公式、不等式的解法和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．