Question

已知

a

=（sinx，cosx+1），

b

=（cosx，cosx-1），f（x）=

a

•

b

（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调区间；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，求函数f（x）的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用数量积公式求出函数f（x），然后利用三角公式进行化简，利用三角函数的性质求f（x）的最小正周期和单调区间；
（2）利用三角函数的性质求函数f（x）的最值及相应的x的值．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=（sinx，cosx+1）•（cosx，cosx-1）=sinxcosx+cos²x-1=

1

2

sinx2x+

1

2

cos2x-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

．
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得-

3

8

π+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈Z，
即单调递增区间：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z
单调递减区间：[

π

8

+kπ，+

5π

8

+kπ]，k∈Z．
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，则2x+

π

4

∈[-

π

12

，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

∈[-1，

2 -1

2

]．
即f（x）的最大值是

2 -1

2

，此时x=

π

8

；
f（x）的最小值是-1，此时x=

π

2

．

点评：本题主要考查数量积的公式以及三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．要求熟练掌握三角函数的图象和性质．