Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{2a}_{n}+1}$（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{1{+a}_{i}}$＜$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，分别令n=1和n=2，利用递推思想能求出a₂和a₃．
（2）由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$）²，两边取对数，得{$lo{g}_{2}（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出a_n=$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$．
（3）先求出$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$=2^1-2n，再利用等比数列前n项和公式能求出$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{1{+a}_{i}}$的值．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{2a}_{n}+1}$（n∈N₊），
∴a₂=$\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
a₃=$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}+1}$=$\frac{1}{15}$．
（2）解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{2a}_{n}+1}$（n∈N₊），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$）²-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$）²，
两边取对数，得log₂（$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1$）=2log₂（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$），
又$l0{g}_{2}（\frac{1}{{a}_{1}}+1）=1$，
∴{$lo{g}_{2}（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴$lo{g}_{2}（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$=2^n-1，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=${2}^{{2}^{n-1}}$，
解得a_n=$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$．
（3）证明：∵a_n=$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$，∴$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$=2^1-2n，
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{1{+a}_{i}}$=2^-1+2^-3+2^-5+…+2^1-2n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}-\frac{1}{2}×\frac{1}{{4}^{n}}$＜$\frac{2}{3}$＜$\frac{7}{8}$．
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}}{1{+a}_{i}}$＜$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{7}{8}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和对数性质的合理运用．