Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA，ccosA．acosB成等差数列．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，a=2，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意和等差中项的性质列出方程，由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A的值；
（2）根据题意、三角形的面积公式和余弦定理列出方程，联立后求出b、c的值，可判断出△ABC的形状．

解答 解：（1）∵bcosA，ccosA、acosB成等差数列，
∴2ccosA=bcosA+acosB，
在△ABC中，由正弦定理得，2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB，
∴2sinCcosA=sin（A+B），
由sinC=sin（A+B）≠0得，cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$，且A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，化简得bc=4，①
又a=2，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
化简得，b²+c²=8，②
联立①②得，b=c=2，
又A=$\frac{π}{3}$，∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及等差中项的性质，考查方程思想，化简、变形能力，注意内角的范围．