题目内容

设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上(x)＞0，且有f(2a2＋a＋1)＜f(－3a2＋2a－1)，求a的取值范围．

答案：
解析：

　　解：∵在(－∞，0)上，(x)＞0，∴f(x)在(－∞，0)上为增函数．

　　又f(x)为偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

　　且f(－3a2＋2a－1)＝f(3a2－2a＋1)．

　　∴原不等式可化为f(2a2＋a＋1)＜f(3a2－2a＋1)．

　　又2a2＋a＋1＞3a2－2a＋1，解得0＜a＜3为所求的a的取值范围．

　　思路分析：偶函数在对称区间上有相反的单调性，奇函数有相同的单调性，利用单调性进行转化需考虑范围．


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18、设F（x）的定义域为R，且满足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定义在R上的函数f（x）满足下述条件：①f（x）是奇函数；②f（x+2）是偶函数；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）设G（x）=f（x+4），判断G（x）的奇偶性并证明；（2）解关于x的不等式：f（x）≤1．
已知f（x）是定义在R上的函数，设g(x)=
f(x)+f(-x)
2
，h(x)=
f(x)-f(-x)
2

①试判断g（x）与h（x）的奇偶性；
②试判断g（x），h（x）与f（x）的关系；
③由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
（2009•闸北区一模）设f(x)=2cos2x+
3
sin2x，g(x)=
1
2
f(x+
5π
12
)+ax+b，其中a，b为非零实常数．
（1）若f(x)=1-
3
，x∈[-
π
3
，
π
3
]，求x；
（2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知：对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），当且仅当x1=x2时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．
（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=ax+k•bx．
（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2，b=
12
，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
（1）求证f（0）=0；
（2）判断f（x）在R上的奇偶性并证明．

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