Question

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
（1）求证f（0）=0；
（2）判断f（x）在R上的奇偶性并证明．

Answer 1

分析：（1）根据对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），对m，n进行赋值，都取0即可求出所求；
（2）令f（m+n）=f（m）+f（n）中的m=x，n=-x，结合f（0）=0，根据函数奇偶性的定义可判定．

解答：证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
∴令m=n=0，可得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0；
（2）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
∴令m=x，n=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），
∵f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在R上是奇函数．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数奇偶性的判断．解决抽象函数的函数值的问题一般会利用赋值法求解．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．属于中档题．