题目内容
（2009•闸北区一模）设f(x)=2cos2x+
sin2x，g(x)=
f(x+
)+ax+b，其中a，b为非零实常数．
（1）若f(x)=1-
，x∈[-
，
]，求x；
（2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知：对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），当且仅当x1=x2时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
（1）若f(x)=1-
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知：对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），当且仅当x1=x2时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．
分析：（1）由已知中f(x)=2cos2x+
sin2x=1+2sin(2x+
)，根据f(x)=1-
，x∈[-
，
]，我们要以构造一个三角方程，结合正弦函数的图象和性质得到答案．
（2）由已知中g(x)=ax-sin2x+b+
，根据函数奇偶性的定义及性质，以及正弦型函数的性质，对b的值进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到结论．
（3）由已知中对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），已知中不应该含绝对值吧，结合已知中g(x)=
f(x+
)+ax+b，利用作差法，易判断出g（x1）-g（x2）＜0，进而根据函数单调性的定义，得到结论．
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由已知中g(x)=ax-sin2x+b+
| 1 |
| 2 |
（3）由已知中对于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），已知中不应该含绝对值吧，结合已知中g(x)=
| 1 |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
解答：解：（1）由已知f(x)=2cos2x+
sin2x=1+2sin(2x+
)，（2分）
由1+2sin(2x+
)=1-
得：sin(2x+
)=-
，（1分）
∵-
≤x≤
，-
≤2x+
≤
（1分）
∴2x+
=-
，x=-
． （1分）
（2）由已知，得g(x)=ax-sin2x+b+
，（1分）
①∵当b=-
时，对于任意的x∈R，总有g（-x）=-ax-sin（-2x）=-（ax-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函数．（2分）（没有过程扣1分）
②当b≠-
时，∵g(
)≠±g(-
)或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函数，又不是偶函数． （2分）（没有过程扣1分）
（3）对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，由已知，有sin2x2-sin2x1＜2（x2-x1），（2分）
∴g（x1）-g（x2）=a（x1-x2）+（sin2x2-sin2x1）＜（a-2）（x1-x2），
∵a≥2，∴g（x1）-g（x2）＜0． （3分）
故，函数g（x）是递增函数． （1分）
注：由于用求导的方法证明不用已知条件，不给分．
| 3 |
| π |
| 6 |
由1+2sin(2x+
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
∵-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
（2）由已知，得g(x)=ax-sin2x+b+
| 1 |
| 2 |
①∵当b=-
| 1 |
| 2 |
∴g（x）是奇函数．（2分）（没有过程扣1分）
②当b≠-
| 1 |
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| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
所以，g（x）既不是奇函数，又不是偶函数． （2分）（没有过程扣1分）
（3）对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，由已知，有sin2x2-sin2x1＜2（x2-x1），（2分）
∴g（x1）-g（x2）=a（x1-x2）+（sin2x2-sin2x1）＜（a-2）（x1-x2），
∵a≥2，∴g（x1）-g（x2）＜0． （3分）
故，函数g（x）是递增函数． （1分）
注：由于用求导的方法证明不用已知条件，不给分．
点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换应用，辅助角公式，正弦型函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的单调性，是函数问题比较综合的考查，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．
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