Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 （为参数），点是曲线上的一动点，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为 .

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹的极坐标方程；

（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）设线段的中点的坐标为，由中点坐标公式得 （为参数），消去参数得的轨迹的直角坐标方程为，化为极坐标方程即可；

（Ⅱ）直线的方程为 ，得直线的直角坐标方程为，利用圆心到直线的距离与的大小判断直线与圆的位置关系是相离，所以曲线上的点到直线的距离的最大值为即得解.

试题解析：

（Ⅰ）设线段的中点的坐标为，

由中点坐标公式得（为参数），

消去参数得的轨迹的直角坐标方程为，

由互化公式可得点的轨迹的极坐标方程为．

（Ⅱ）由直线的极坐标方程为，得，

所以直线的直角坐标方程为，

曲线的普通方程为，它表示以为圆心，2为半径的圆，

则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，

故曲线上的点到直线的距离的最大值为．