Question

8．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（1）若a-b=5，求△ABC面积的最大值；
（2）若a=2，2sin²A-sinAsinC=sin²C，求b及c的长．

Answer 1

分析 （1）将a-b=5两边平方，求得a²+b²-2ab=25，利用基本不等式关系，求得ab的取值范围，即可求得三角形的面积最大值．
（2）根据正弦定理，化简2a²-ac=c²，求得a的值，再由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，求得c=$\sqrt{10}$．

解答 解：（1）在△ABC中，a-b=5，两边平方得：a²+b²-2ab=25，a²+b²≥2ab，
25+2ab≥2ab，ab≤25，
△ABC面积S，S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×25×$\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{25\sqrt{10}}{8}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{25\sqrt{10}}{8}$；
（2）2sin²A-sinAsinC=sin²C，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴2a²-ac=c²，
a=2，
∴c²+2c-8=0，解得：c=2，c=-4（舍去），
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
代入求c=$\sqrt{10}$，
∴c=2，c=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正余弦定理与基本不等式相结合，考查学生的观察和应用能力，属于中档题．