Question

椭圆的两个焦点坐标分别为和，且椭圆过点（）
（1）求椭圆方程；
（2）过点作直线l交该椭圆于M，N两点（直线l不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，求出点到焦点的距离即可求得椭圆方程；
（2）分直线MN的斜率存在与补存在，进行讨论，利用向量的数量积为0，可得结论．
解答：解：（1）由题意，设椭圆方程为
则，得a=2，b=1
∴椭圆方程为．（4分）
（2）当直线MN⊥x轴时，直线MN的方程为，代入椭圆方程得，∴
设直线MN与x轴交于点P，且A（-2，0）；得
∴，得
∴若∠MAN的大小为定值，则必为．（6分）
下面判断当直线MN的斜率存在且不为0时∠MAN的大小是否为定值
设直线MN的方程为：，
联立直线MN和曲线C的方程可得：得：，（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，（10分）
则
∴
∴∠MAN的大小为定值．（12分）
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查定值的探求，关键是正确理解椭圆的定义，对于定值，可从特殊入手进行猜想，再给出一般性的证明．