Question

5．已知离心率为e的椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-4}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞2）的上、下焦点分别为F₁和F₂，过点（0，2）且不与y轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF₂为等腰直角三角形，则e²=$9-3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出椭圆的焦点，准线方程，设△MNF₂为等腰直角三角形，且MN=NF₂，MN⊥NF₂，设N到下准线的距离为m，M到上准线的距离为n，由椭圆的第二定义，利用合分比性质，以及勾股定理得到关于a的方程，解方程可得a，再由离心率公式求得答案．

解答 解：由椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-4}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞2），
得c²=a²-（a²-4）=4，∴c=2，
则椭圆的上、下焦点分别为F₁（0，2），F₂（0，-2），
离心率e=$\frac{2}{a}$，准线方程为y=±$\frac{{a}^{2}}{2}$，
如图△MNF₂为等腰直角三角形，且MN=NF₂，MN⊥NF₂，
设N到下准线的距离为m，M到上准线的距离为n，
由椭圆的定义可得，e=$\frac{N{F}_{2}}{m}$=$\frac{N{F}_{1}}{{a}^{2}-m}$=$\frac{M{F}_{1}}{n}=\frac{M{F}_{2}}{{a}^{2}-n}$，
即有$\frac{N{F}_{2}}{m}=\frac{MN}{{a}^{2}-m+n}=\frac{M{F}_{2}}{{a}^{2}-n}$=$\frac{\sqrt{2}MN}{{a}^{2}-n}=\frac{MN}{m}$，
则2m-n=a²，（$\sqrt{2}$+1）n-$\sqrt{2}$m=（1-$\sqrt{2}$）a²，
解得：m=（2-$\sqrt{2}$）a²，
又NF₁²+NF₂²=F₁F₂²=16，
即有（$\frac{2}{a}$（a²-m））²+（$\frac{2}{a}$•m））²=16，
代入m=（2-$\sqrt{2}$）a²，解方程可得a=$\frac{2}{3}（\sqrt{6}+\sqrt{3}）$，
即有${e}^{2}=（\frac{c}{a}）^{2}=（\frac{2}{\frac{2}{3}（\sqrt{6}+\sqrt{3}）}）^{2}=（\sqrt{6}-\sqrt{3}）^{2}$=$9-3\sqrt{2}$．
故答案为：$9-3\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查比例的性质和勾股定理的运用，考查灵活变形及运算能力，属难题．