Question

17．已知抛物线C：y²=4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点P₁，P₂和点P₃，P₄，线段P₁P₂，P₃P₄的中点分别记为M₁，M₂
（Ⅰ）求△FM₁M₂面积的最小值：
（Ⅱ）求线段M₁M₂的中点P满足的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线M₁M₂方程恒过定点P（3，0），即可求△FM₁M₂面积的最小值：
（Ⅱ）确定线段M₁M₂的中点P坐标，消去参数，即可得到满足的方程．

解答 解：（Ⅰ）抛物线的焦点坐标为（1，0），
设直线的方程P₁P₂为y=k（x-1），与y²=4x联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴M₁（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）
同理M₂（1+2k²，-2k），
∴${k}_{{M}_{1}{M}_{2}}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（k≠±1）
∴直线M₁M₂方程为y-$\frac{2}{k}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$），即y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-3），
结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（3，0）．
根据对称性，当且仅当k=±1时，△FM₁M₂面积最小，此时，M₁（3，2），M₂（3，-2）
∴△FM₁M₂面积的最小值为$\frac{1}{2}×4×2$=4
（Ⅱ）设线段M₁M₂的中点P（x，y）
则x=1+$\frac{1}{{k}^{2}}$+k²，y=$\frac{1}{k}$-k，消去参数可得y²=x-3．

点评 本题给出抛物线互相垂直的弦，求它们的中点的问题．着重考查了直线与抛物线位置关系、直线过定点的判断等知识，属于中档题．