Question

2．在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）求角C；
（2）若角C的对边c=2，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的等式，利用内角的范围和正弦函数值求出cosC，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C；
（2）由（1）和勾股定理列出式子，利用完全平方和公式和不等式求出△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）由题意得，sinA+sinB=sinC（cosA+cosB），
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）+sin（A+C）=sinCcosA+sinCcosB，
sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sinBcosC+sinAcosC=0，则（sinA+sinB）cosC=0，
∵sinB+sinA≠0，∴cosC=0，
∵0＜C＜180°，∴C=90°；
（2）由（1）和c=2可得，a²+b²=4，
则（a+b）²-2ab=4，即$a+b=\sqrt{2ab+4}$，
∴△ABC周长l=a+b+c=2+$\sqrt{2ab+4}$≤2+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+4}$=2+2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=b时取等号，
∴△ABC周长的最大值是2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式的应用，以及不等式求最值问题，考查化简、变形能力，注意内角的范围．