题目内容

已知tan(α+β)=
1
2
，tan(β-
π
4
)=
1
3
，则sin(
π
4
+α)•sin(
π
4
-α)=
7
50
7
50
．
分析：利用拆分角，写成α+
π
4
=α+β-(β-
π
4
)，α=α+
π
4
-
π
4
，利用两角和差的正切公式即可得出tanα，把要求的sin(
π
4
+α)•sin(
π
4
-α)展开，利用“弦化切”即可得出．
解答：解：∵tan(α+β)=
1
2
，tan(β-
π
4
)=
1
3
，∴tan(α+
π
4
)=tan[(α+β)-(β-
π
4
)]=
tan(α+β)-tan(β-
π
4
)
1+tan(α+β)tan(β-
π
4
)
=
1
2
-
1
3
1+
1
2
×
1
3
=
1
7
．
∴tanα=tan(α+
π
4
-
π
4
)=
tan(α+
π
4
)-tan
π
4
1+tan(α+
π
4
)tan
π
4
=
1
7
-1
1+
1
7
=-
3
4
．
∴sin(
π
4
+α)•sin(
π
4
-α)=
2
2
(cosα+sinα)•
2
2
(cosα-sinα)=
1
2
(cos2α-sin2α)=
1
2
×
cos2α-sin2α
cos2α+sin2α
=
1
2
×
1-tan2α
1+tan2α
=
1
2
×
1-(-
3
4
)2
1+(-
3
4
)2
=
7
50
．
故答案为
7
50
．
点评：熟练掌握拆分角的方法、两角和差的正弦、正切公式、“弦化切”的方法是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知tanα=-
1
3
，cosβ=
5
5
，α，β∈（0，π）
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求函数f(x)=
2
sin(x-α)+cos(x+β)的最大值．
已知tanα，tanβ为方程x2-3x-3=0两根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求sin2（α+β）-3sin（2α+2β）-3cos2（α+β）的值．
已知tan(θ+
π
4
)=-3，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（　　）
A、-
4
3
B、
5
4
C、-
3
4
D、
4
5
已知tan
α
2
=2，
求；（1）tan(α+
π
4
)的值；
（2）
6sinα+cosα
3sinα-2cosα
的值；
（3）3sin2α+4sinαcosα+5cos2α的值．
（1）已知sinα-cosα=
17
13
，α∈（0，π），求tanα的值；
（2）已知tanα=2，求
2sinα-cosα
sinα+3cosα
．

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