题目内容
20．已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，an=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$．（Ⅰ）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{bn}满足b1=1，b2=2，且bn=b1+a1b2+a2b3+…+an-2bn-1（n＞2），判断2016是否为数列{bn}中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由．
分析 （Ⅰ）通过对an=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$两边同时取倒数，整理即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b3=b1+$\frac{1}{2}$b2=2，当n≥2时利用bn-1=b1+$\frac{1}{2}$b2+$\frac{1}{3}$b3+…+$\frac{1}{n-2}$bn-2与bn=b1+a1b2+a2b3+…+an-2bn-1作差，进而利用累乘法计算即得结论．
解答 （Ⅰ）证明：∵an=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n＞1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为2、公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+n-1=n+1，
∴an=$\frac{1}{n+1}$；
（Ⅱ）结论：2016为数列{bn}中的第3024项．
理由如下：
由（I）可知bn=b1+a1b2+a2b3+…+an-2bn-1
=b1+$\frac{1}{2}$b2+$\frac{1}{3}$b3+…+$\frac{1}{n-1}$bn-1（n＞2），
又∵b1=1，b2=2，
∴b3=b1+$\frac{1}{2}$b2=2，
∵当n≥2时，bn-1=b1+$\frac{1}{2}$b2+$\frac{1}{3}$b3+…+$\frac{1}{n-2}$bn-2，
∴bn-bn-1=$\frac{1}{n-1}$bn-1，即$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
由累乘法可知bn=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…•$\frac{{b}_{4}}{{b}_{3}}$•b3
=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{4}{3}$•2
=$\frac{2}{3}$n，
当bn=$\frac{2}{3}$n=2016时，解得：n=3024，
∴2016为数列{bn}中的第3024项．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累乘法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
| A． | $\sqrt{5}$-1 | B． | $\sqrt{5}$+1 | C． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f（x） | 5 | 4 | 3 | 1 | 2 |
如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”．执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（ ）| A． | $\frac{{{2^{101}}-1}}{{{2^{100}}+1}}$ | B． | $\frac{{{2^{100}}-1}}{{{2^{100}}+1}}$ | C． | $\frac{{{2^{101}}-1}}{{2（{{2^{101}}+1}）}}$ | D． | $\frac{{{2^{100}}-1}}{{2（{{2^{100}}+1}）}}$ |