Question

【题目】已知函数f（x）= +x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+ x2﹣kx，且g（x）在其定义域上存在单调递减区间（即g′（x）＜0在其定义域上有解），求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= +x，

∴f′（x）= +1，

∵f（x）= +x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0，

∴ +1=2，2﹣1+b=0，

∴a=1，b=﹣1；

（2）解：f（x）=lnx+x，g（x）= x2﹣kx+lnx+x，

∴g′（x）=x﹣k+ +1，

∵g（x）在其定义域上存在单调递减区间，

∴g′（x）＜0在其定义域上有解，

∴x﹣k+ +1＜0在其定义域上有解，

∴k＞x+ +1在其定义域上有解，

∴k＞3．

【解析】（1）求导数，利用函数f（x）= +x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0，建立方程组求实数a，b的值；（2）g（x）在其定义域上存在单调递减区间，即g′（x）＜0在其定义域上有解，分离参数求最值，即可求实数k的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．