Question

【题目】设椭圆的左顶点为，且椭圆与直线相切，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的动直线与椭圆交于两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）-7

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得，则椭圆的标准方程为

(2)当直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程进行讨论，注意讨论直线不存在的情况，综上可得当时，

试题解析：

（1）根据题意可知，所以，

由椭圆与直线相切，联立得，

消去可得： ，

即，

解得： （舍）或

所以椭圆的标准方程为

（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设两点的坐标分别为，

联立得，化简，

所以，

所以

，

所以当时，

当过点的直线的斜率不存在时，直线即与轴重合，此时，所以

,

所以当时， ,

综上所述，当时，