Question

【题目】在正三角形中, 分别是边上的点,满足 (如图),将沿折起到的位置,使二面角成直二面角,连接 (如图).

（1） 求证: 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小；

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）

【解析】试题分析：

(1) 利用折叠前后的关系和线面垂直的判断定理可得平面；

(2)建立空间直角坐标系，结合平面角的法向量可得二面角的余弦值的大小为

试题解析：

不妨设正三角形的边长为，

（1）在图中，取的中点，连接.

,

而是正三角形，

又

在图中， ,

为二面角的平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，

,又,

平面，即平面

（2） 由 （1） 知，即平面

以为原点，以分别为轴建立如图所示的坐标系如图，

则

设分别是平面和平面的法向量，

由，得.

取，得.

由,得，取，得

所以

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为