Question

（2010•烟台一模）已知x∈R，ω＞0，

u

=(

1

2

，sin(

1

2

ωx+

π

2

))，

v

=(cosωx，

3

sin

1

2

ωx），函数f（x）=1+

u

•

v

的最小正周期为

π

2

．
（1）求ω的值．
（2）求函数y=f（x）在区间[0，

π

8

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依据题意，有f(x)=1+

u

•

v

=1+(

1

2

，sin(

π

2

+

1

2

ωx))•(cosωx，

3

sin

1

2

ωx)=1+sin(ωx+

π

6

)．由此能求出ω的值．
（2）由f(x)=1+sin(4x+

π

6

)，知当0≤x≤

π

8

时，可得0≤4x≤

π

2

，

π

6

≤4x+

π

6

≤

2π

3

．由此能求出函数y=f（x）在区间[0，

π

8

]上的取值范围．

解答：解：（1）依据题意，有f(x)=1+

u

•

v

=1+(

1

2

，sin(

π

2

+

1

2

ωx))•(cosωx，

3

sin

1

2

ωx)
=1+

1

2

cosωx+

3

cos

1

2

ωx•sin

1

2

ωx（3分）
=1+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx
=1+sin(ωx+

π

6

)．                   　            （6分）
又ω＞0，函数的最小正周期T=

π

2

，∴ω=

2π

T

=4．　　　               （8分）
（2）由（1）可知，f(x)=1+sin(4x+

π

6

)．
当0≤x≤

π

8

时，可得0≤4x≤

π

2

，

π

6

≤4x+

π

6

≤

2π

3

．（10分）
考察正弦函数的图象，进一步有

1

2

≤sin(4x+

π

6

)≤1，

3

2

≤1+sin(4x+

π

6

)≤2． （15分）
所以函数y=f(x)在[0，

π

8

]上的取值范围是[

3

2

，2]．　　　　　　　　　　　（16分）

点评：本题考查平面向量的综合运算，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．