Question

14．在圆（x-1）²+（y-3）²=25内过点（1，0）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A． 40
• B． 20
• C． 80
• D． 10

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标和半径r，连接圆心与点（1，0），利用垂径定理的逆定理最长的弦为过（1，0）的直径，最短的弦为与直径垂直的弦，由圆心与（1，0）的距离d，即弦心距及圆的半径r，勾股定理及垂径定理求出最短的弦长，再由直径与最短的弦长垂直，利用直径与最短弦长乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．

解答 解：由圆的方程（x-1）²+（y-3）²=25，得到圆心坐标为（1，3），半径r=5，
∵过（1，0）最长的弦为直径，即AC=10，且（1，0）与（1，3）的距离d=3，
∴最短的弦长BD=2$\sqrt{25-9}$=8，
又AC⊥BD，
则四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$×10×8=40．
故选A．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及对角线垂直的四边形面积求法，其中根据题意得出最长的弦长与最短的弦长是解本题的关键．