Question

如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．
（Ⅰ）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设其方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，确定G的横坐标，即可求得直线AB的斜率；
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得 S₁=S₂，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1）．
将其代入，整理得 （4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以．
故点G的横坐标为．
依题意，得，解得．
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得 S₁=S₂，显然直线AB不能与x，y轴垂直．
由（Ⅰ）可得 ．
因为DG⊥AB，所以 ，
解得，即 ．
因为△GFD∽△OED，所以S₁=S₂，所以|GD|=|OD|．
所以，
整理得8k²+9=0．
因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S₁=S₂．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．