Question

如图，已知曲线C：

x2

a2

+y2=1（a＞0），曲线C与x轴相交于A、B两点，直线l过点B且与x轴垂直，点S是直线l上异于点B的任意一点，线段SA与曲线C交于点T，线段TB与以线段SB为直径的圆相交于点M．
（I）若点T与点M重合，求

AT

•

AS

的值；
（II）若点O、M、S三点共线，求曲线C的方程．

Answer 1

分析：（I）设T（x₀，y₀），S（a，y₁），由点A，T，S共线，确定直线方程，求得S的坐标，利用点T与点M重合时，有BT⊥AS，k_SA•k_BT=-1，得a的值，再利用

AT

•

AS

=AB²，即可求得结论；
（II）以线段SB为直径的圆相交于点M点，又O、M、S三点共线，知BM⊥OS，∴BT⊥OS，由此可求a的值，从而可得曲线C的方程．

解答：解：（I）设T（x₀，y₀），S（a，y₁），则

x02

a2

+y02=1，所以y02=1-

x02

a2

由点A，T，S共线有：

y0-0

x0+a

=

y1-0

a+a

，得：y1=

2a

x0+a

y0，即S（a，

2a

x0+a

y0）
当点T与点M重合时，有BT⊥AS，k_SA•k_BT=

y0

x0+a

×

y0

x0-a

=-1，得a=1．
∴

AT

•

AS

=AB²=（2a）²=4；
（II）以线段SB为直径的圆相交于点M点，又O、M、S三点共线，知BM⊥OS，∴BT⊥OS
∴k_SO•k_BT=

2a x0+a y0

a

×

y0

x0-a

=-1，∴a²=2
∴所求曲线C的方程为

x2

2

+y2=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，解题的关键是确定a的值，属于中档题．