Question

已知0＜a＜1，0＜b＜1，则函数f（x）=x²log_ab+2xlog_ba+8的图象恒在x轴上方的概率为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  3

  4

• C、

  1

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．

解答：解：∵函数图象恒在x轴上方，则4log_b²a-32log_ab＜0，
∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴log_ba＞0，log_ab＞0，
∴lo

g

3 a

b＞

1

8

，∴logab＞

1

2

，即b＜a

1

2

．
则建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，如图．
此时，可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足图象在x轴上方的事件A所对应的几何度量S(A)=∫_1a

1

2

da=

2

3

．所以P(A)=

S(A)

S(Ω)

=

2

3

．
故选D．

点评：本题综合考查了对数的性质，几何概型，及定积分在求面积中的应用，是一道综合性比较强的题目，考生容易在建立直角坐标系中出错，可多参考本题的做法．