Question

【题目】已知数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立． （I）求数列{an}的通项公式；
（II）若bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立． ∴m=n=1时，2a1=a2=a1+2．
m=1，n=2时，可得a1+a2=a3=a1+2，解得a2=2，a1=1．
∴n为奇数时，an=1+ =n，n为偶数时，an=2× = ．
∴an= ．
（II）bn= ，∴n为奇数时，bn= = ．
n为偶数时，bn= ．
因此：n为偶数时，数列{bn}的前n项和Tn= + = + = ﹣ ﹣ ．
∴n为奇数时，Tn=Tn﹣1+bn= ﹣ + = ﹣ ﹣ ．
【解析】（1）对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立．可得：m=n=1时，2a1=a2=a1+2．m=1，n=2时，可得a1+a2=a3=a1+2，解得a2=2，a1=1．分奇偶项即可得出．（2）bn= ，可得n为奇数时，bn= = ．n为偶数时，bn= ．因此：n为偶数时，数列{bn}的前n项和Tn= + ． n为奇数时，Tn=Tn﹣1+bn ， 即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．