Question

已知函数f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，g（x）=(

1

2

)x-m，P={m|任意x₁，x₂∈（{0，2}），f（x₁）≥g（x₂）}，Q={m|任意x₁∈（0，2），存在x₂∈（0，2），f（x₁）≥g（x₂）}，则P∩Q=

 

$\end{array}$．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,交集及其运算

专题：函数的性质及应用,集合

分析：求出函数f（x），g（x）的值域，根据恒成立以及存在条件的等价条件转化为求两个函数最值之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f(x)=ln?x-

1

4

x+

3

4x

-1，
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

-x2+4x-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；单调递减区间为（0，1），（3，+∞）；
∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）=-

1

2

，
∵g（x）=（

1

2

）^x-m在（0，2）上单调递减，
∴

1

4

-m＜g（x）＜1-m．
则集合P满足1-m≤-

1

2

，即m≥

3

2

，即P={m|m≥

3

2

}，
由于“对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈（0，2），使f（x₁）≥g（x₂）”，
等价于“g（x）在区间（0，2）上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值-

1

2

”
即

1

4

-m＜-

1

2

，
∴m＞

3

4

，即Q={m|m＞

3

4

}，
∴则P∩Q={m|m≥

3

2

}，
故答案为：[

3

2

，+∞)

点评：本题主要考查函数恒成立问题，将恒成立问题转化为求函数的取值范围是解决本题的关键，注意恒成立与存在性问题之间的区间．